几何变换

数学几何辅助线添加方法及示例汇总

作者:郑州市励学国际 / 关注公众号:zzlxgj  发布:2019-10-26

几何可以说是初中数学的半壁江山,囊括了无数的重点知识、难点知识、无数的中考考点……学好几何,初中数学就不在话下!!
在几何问题中,添加辅助线可以说是解题的关键!辅助线画得好,解题轻松又快速!辅助线画不对,可能就是解题绕弯又出错!如何快速、添加利于解题的辅助线?诀窍都在下面了!
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
线段和差及倍半,延长缩短可试验。
线段和差不等式,移到同一三角去。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,倍长中线得全等。
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形问题巧转换,变为三角或平四。
平移腰,移对角,两腰延长作出高。
如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
半径与弦长计算,弦心距来中间站。
圆上若有一切线,切点圆心半径联。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。
弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
要想作个外接圆,各边作出中垂线。
还要作个内接圆,内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。
内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。
要作等角添个圆,证明题目少困难。
一、截取构全等
如图,AB//CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,点E在AD上,求证:BC=AB+CD。
分析:在此题中可在长线段BC上截取BF=AB,再证明CF=CD,从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于一点来证明。自己试一试。
二、角分线上点向两边作垂线构全等
如图,已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证:∠ADC+∠B=180
分析:可由C向∠BAD的两边作垂线。近而证∠ADC与∠B之和为平角。
三、三线合一构造等腰三角形
如图,AB=AC,∠BAC=90 ,AD为∠ABC的平分线,CE⊥BE.求证:BD=2CE。
分析:延长此垂线与另外一边相交,得到等腰三角形,随后全等。
四、角平分线+平行线
如图,AB>AC, ∠1=∠2,求证:AB-AC>BD-CD。
分析:AB上取E使AC=AE,通过全等和组成三角形边边边的关系可证。
截长补短法
AC平分∠BAD,CE⊥AB,且∠B+∠D=180°,求证:AE=AD+BE。
分析:过C点作AD垂线,得到全等即可。
一、中线把三角形面积等分
如图,ΔABC中,AD是中线,延长AD到E,使DE=AD,DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2,求:ΔCDF的面积。
分析:利用中线分等底和同高得面积关系。
二、中点联中点得中位线
如图,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证:∠BGE=∠CHE。
分析:联BD取中点联接联接,通过中位线得平行传递角度。
三、倍长中线
如图,已知ΔABC中,AB=5,AC=3,连BC上的中线AD=2,求BC的长。
分析:倍长中线得到全等易得。
四、RTΔ斜边中线
如图,已知梯形ABCD中,AB//DC,AC⊥BC,AD⊥BD,求证:AC=BD。
分析:取AB中点得RTΔ斜边中线得到等量关系。
一、倍长过中点得线段
已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD的取值范围是。
分析:利用倍长中线做。
二、截长补短
如图,在四边形ABCD中,BC>BA,AD=CD,BD平分 ,求证:∠A+∠C=180
分析:在角上截取相同的线段得到全等。
三、平移变换
如图,在△ABC的边上取两点D、E,且BD=CE,求证:AB+AC>AD+AE
分析:将△ACE平移使EC与BD重合。
四、旋转
正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF,求∠EAF的度数
分析:将△ADF旋转使AD与AB重合。全等得证。
一、平移一腰
所示,在直角梯形ABCD中,∠A=90°,AB∥DC,AD=15,AB=16,BC=17. 求CD的长。
分析:利用平移一腰把梯形分割成三角形和平行四边形。
二、平移两腰
如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠B+∠C=90°,AD=1,BC=3,E、F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。
分析:利用平移两腰把梯形底角放在一个三角形内。
三、平移对角线
已知:梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积。
分析:通过平移梯形一对角线构造直角三角形求解。
四、作双高
在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证:BD>AC。
分析:作梯形双高利用勾股定理和三角形边边边的关系可得。
五、作中位线
(1)如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点,求证:EF//AD
分析:联DF并延长,利用全等即得中位线。
(2)在梯形ABCD中,AD∥BC, ∠BAD=90°,E是DC上的中点,连接AE和BE,求∠AEB=2∠CBE。
分析:在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。
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